Lấy p {\displaystyle p} là một số nguyên tố và giả thiết rằng p {\displaystyle p} chia hết (hay "đo được") tích của hai số nguyên a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} . (Trong cách viết ký hiệu, điều này được viết là p ∣ a b {\displaystyle p\mid ab} . Mệnh đề phủ định của nó, p {\displaystyle p} không chia hết a b {\displaystyle ab} được viết là p ∤ a b {\displaystyle p\nmid ab} .) Vậy thì p ∣ a {\displaystyle p\mid a} hoặc p ∣ b {\displaystyle p\mid b} (hoặc cả hai). Các phát biểu tương đương bao gồm:

• Nếu p ∤ a {\displaystyle p\nmid a} và p ∤ b {\displaystyle p\nmid b} , thì p ∤ a b {\displaystyle p\nmid ab} .
• Nếu p ∤ a {\displaystyle p\nmid a} và p ∣ a b {\displaystyle p\mid ab} , thì p ∣ b {\displaystyle p\mid b} .

Bổ đề Euclid có thể được tổng quát hóa từ cho các số nguyên tố tới cho bất kỳ số nguyên nào:

Định lý — Nếu n ∣ a b {\displaystyle n\mid ab} , và n {\displaystyle n} nguyên tố cùng nhau với a {\displaystyle a} , thì n ∣ b {\displaystyle n\mid b} .

Đây là một tổng quát hóa bởi vì nếu n {\displaystyle n} cũng là số nguyên tố thì hoặc là

• n ∣ a {\displaystyle n\mid a} ; hoặc là
• n {\displaystyle n} nguyên tố cùng nhau với a {\displaystyle a} . Trong khả năng thứ hai này, n ∤ a {\displaystyle n\nmid a} vì vậy n ∣ b {\displaystyle n\mid b} .